La disputa entre Newton y Leibniz por la invención del cálculo

En la historia de las matemáticas y las ciencias, pocos conflictos han alcanzado la notoriedad de la disputa entre Newton y Leibniz sobre la invención del cálculo infinitesimal. La cuestión principal del conflicto era cuál de los dos, Sir Isaac Newton o Gottfried Wilhelm Leibniz, merecía el crédito por la invención del cálculo diferencial e integral. Una cronología cuidadosamente reconstruida revela que Newton formuló los fundamentos de su cálculo en 1666, años antes de que Leibniz hubiera alcanzado el conocimiento matemático necesario para desarrollar su propio punto de vista sobre el cálculo.

Probablemente, lo que establece este caso particular, aparte de la importancia de los hombres involucrados, era la importancia de la obra que estaba en juego, el tiempo a través del cual la disputa se extendió, y la pura intensidad de la controversia. Aunque esta se originó por la cuestión de la prioridad sobre la invención del cálculo, el asunto se agravó por el hecho de que no coincidieron en el tema de la filosofía natural del mundo. Newton y su teoría de la gravitación era visto como un retroceso a los tiempos de ocultismo por Leibniz y muchos otros filósofos mecánicos de esa época. Esta mezcla de temas filosóficos empeoró la naturaleza de la controversia. Una de las razones por las cuales el conflicto asumió proporciones tan importantes y por qué Newton y Leibniz estaban ansiosos de ser considerados los inventores del cálculo era debido a la actitud hacia el plagio que reinaba en el siglo 17. En el siglo 17, la correspondencia e incluso la revelación en presencia de testigos fiables de manuscritos privados o instrumentos tenían un peso considerable, el trabajo no tenía por qué haber sido publicado.

Como la mayoría de los descubrimientos, el cálculo fue la culminación de siglos de trabajos. Matemáticos de todo el mundo contribuyeron a su desarrollo, sin embargo para la mayoría los dos descubridores reconocidos del cálculo fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. El crédito se presta actualmente a estos dos hombres. Los historiadores de las matemáticas han concluido que el trabajo de Newton fue anterior al de Leibniz, pero que este último obtuvo sus resultados de una manera independiente a Newton. Se sabe, sin embargo, que ambos tuvieron la influencia de Barrow, quien se considera el matemático que había llegado más lejos en la comprensión de que la derivada y la integral tenían una naturaleza inversa, aunque con una óptica esencialmente geométrica.

Sir Isaac Newton

Isaac Newton nació en Woolsthorpe, cerca de Grantham en Lincolnshire,Inglaterra. Aunque por el calendario en uso en la fecha de su nacimiento él nació el día de Navidad de 1642, la fecha del 4 de Enero de 1643 es la que corresponde al 'corregido' calendario gregoriano que la pone en la línea de nuestro actual calendario. (El calendario gregoriano no fue adoptado en Inglaterra hasta 1752). Isaac Newton venía de una familia de granjeros pero nunca conoció a su padre, también llamado Isaac Newton, que murió en octubre de 1642, tres meses antes de que naciese su hijo. La madre de Isaac, Hannah Ayscough se volvió a casar con Barnabas Smith, el ministro de la iglesia de North Witham, un pueblo cercano, cuando Isaac tenía dos años de edad. El joven niño fue entonces dejado al cuidado de su abuela Margery Ayscough en Woolsthorpe.

A la muerte de su padrastro en 1653, Newton vivía en una amplia familia compuesta de su madre, su abuela, un medio hermano, y dos medio hermanas.

Un tío, William Ayscough, decidió que Isaac debería prepararse para ingresar en la universidad, a Isaac se le permitió regresar a la Escuela Libre de Gramática en Grantham en 1660 para completar su educación escolar. Newton ingresó en el viejo College de su tío, el Trinity College de Cambridge, el 5 de Junio de 1661.

Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Se graduó en el Trinity College con una formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemática y filosofía natural de la época.

Newton estudió la filosofía de Descartes, Gassendi, Hobbes, y en particular a Boyle. La mecánica de la astronomía copernicana de Galileo le atrajo y también estudió la Optica de Kepler. Registró sus pensamientos en un libro que tituló Quaestiones Quaedam Philosophicae (Cuestiones Filosóficas Ciertas). Es una relación fascinante de cómo las ideas de Newton se estaban ya formando alrededor de 1664.

Volvió entonces a releer el Clavis Mathemática de Oughtred y la Geometría de Descartes, de Frans van Schooten. La nueva geometría algebraica y analítica de Viète también. Otra obra importante de matemáticas que estudió en esta época fue la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.

Sería fácil pensar que el talento de Newton comenzó a emerger a la llegada de Barrow a la cátedra Lucasiana de Cambridge en 1663 cuando se convirtió en un alumno del Trinity College. Ciertamente la fecha encaja con el inicio los estudios matemáticos profundos de Newton. Sin embargo, parecería que la fecha de 1663 es sólo una coincidencia y que no fue hasta algunos años después cuando Barrow reconoció al genio matemático entre sus alumnos.

A pesar de algunas pruebas de que su progreso no había sido particularmente bueno, Newton fue elegido becario el 28 de abril de 1665. Parecería que su genio científico todavía no había emergido, pero lo hizo de forma repentina cuando la peste cerró la universidad en el verano de 1665 y tuvo que regresar a Lincolnshire. Allí, en un periodo de menos de dos años, mientras Newton tenía todavía menos de 25 años, comenzó revolucionarios avances en matemáticas, óptica, física, y astronomía.

Mientras Newton permaneció en casa, sentó las bases para el cálculo diferencial e integral, varios años antes de su descubrimiento independiente por Leibniz. El 'método de flujos' (fluxions), como él lo llamó, estaba basado en su crucial y agudo análisis de que la integración de una función es simplemente el procedimiento inverso a su diferenciación. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671 pero Newton no consiguió publicarlo y no apareció en imprenta hasta que John Coilson produjo una traducción al inglés en 1736.

Newton regreso a la Universidad de Cambridge cuando reabrió tras la plaga en 1667. En Julio de 1669 Barrow intentó asegurarse de que los logros matemáticos de Newton eran dados a conocer al mundo. Envió el texto de Newton De Analysi a Collins.

Collins mostró a Brouncker, el Presidente de la Royal Society, los resultados de Newton (con el permiso del autor) pero después de esto Newton solicitó que se le devolviera su manuscrito. Collins no pudo dar una crónica detallada pero de Sluze y Gregory[[i]] aprendieron algo de la obra de Newton a través de Collins. Barrow dimitió de la cátedra Lucasiana en 1669, recomendando que Newton (todavía con sólo 27 años) fuera designado en su lugar.

La primera obra de Newton como profesor de la cátedra Lucasiana fue sobre óptica y éste fue el contenido de su primera clase del curso que empezó en 1670. Había alcanzado la conclusión durante los dos años de epidemia de que la luz blanca no es una entidad simple. Cuando pasó un fino haz de luz solar a través de un prisma de cristal, Newton percibió el espectro de colores que se formaba.

 Retrato de Newton por Kneller en 1702.

Arguyó que la luz blanca es en realidad una mezcla de muchos tipos diferentes de rayos que se refractan a ángulos ligeramente diferentes, y que cada tipo diferente de rayo produce un diferente color espectral.

En 1672 Newton fue elegido miembro de la Royal Society tras donar un telescopio reflector. También en 1672 Newton publicó su primer artículo científico sobre la luz y el color en el Philosophical Transactions of the Royal Society. El artículo fue en general bien recibido pero Hooke y Huygens objetaron al intento de Newton de probar, sólo por la experimentación, que la luz se compone del movimiento de pequeñas partículas en lugar de por ondas. Newton temía las críticas y concluyó que la forma más fácil de evitar ser criticado era no publicar nada.

Las relaciones de Newton con Hooke se deterioraron aun más cuando, en 1675, Hooke afirmó que Newton había robado algunos de sus resultados en óptica. Aunque los dos hombres hicieron las paces con un intercambio de cartas corteses, Newton se encerró sobre sí mismo y se alejó de la Royal Society que él asociaba con Hooke como uno de sus líderes. 'Optiks' de Newton apareció en 1704. Trataba de la teoría de la luz y el color.

Otra disputa, esta vez con los Jesuitas Ingleses de Lieja sobre su teoría del color, condujo a un violento intercambio de cartas; después, en 1678, parece haber sufrido una depresión nerviosa. Su madre murió al año siguiente y él se replegó más sobre sí mismo, mezclándose lo menos posible con la gente durante unos cuantos años.

El mayor logro de Newton fue su obra sobre física y mecánica celeste, que culminó en la teoría de la gravitación universal. Alrededor de 1666 Newton tenía versiones tempranas de sus tres leyes de movimiento. Había descubierto también la ley que daba la fuerza centrífuga de un cuerpo que se movía uniformemente en una trayectoria circular.

La nueva idea de Newton de 1666 fue imaginar que la gravedad de la Tierra influenciaba a la Luna, contrarrestando su fuerza centrífuga. A partir de su ley de la fuerza centrífuga y de la tercera ley del movimiento planetario de Kepler, Newton dedujo la ley del cuadrado inverso.

Halley persuadió a Newton a escribir un tratado completo de su nueva física y su aplicación a la astronomía. Sobre un año después (1687) Newton publicó la Philosophiae naturalis principia mathematica o Principia como se le ha conocido siempre.

De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.

Newton analizó el movimiento de los cuerpos en medios resistentes y no resistentes bajo la acción de fuerzas centrípetas. Los resultados fueron aplicados a los cuerpos en órbita, proyectiles, péndulos, y a la caída libre cerca de la Tierra. Además demostró que los planetas eran atraídos hacia el Sol por una fuerza que varía con el cuadrado inverso de la distancia y generalizó que todos los cuerpos celestes se atraen mutuamente unos a otros.

Una generalización posterior llevó a Newton la ley de la gravitación universal.

“... toda la materia atrae a toda la otra materia con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.”

Newton explicó un amplio rango de fenómenos previamente inconexos: las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra, y la perturbación del movimiento de la Luna por la gravedad del Sol. Este trabajo hizo a Newton un líder internacional en investigación científica. Los científicos continentales no aceptaban la idea de la acción a distancia y continuaban creyendo en la teoría del vórtice de Descartes en la que las fuerzas funcionan a través del contacto. Sin embargo esto no detuvo la admiración universal por la habilidad técnica de Newton.

Tras sufrir una segunda depresión nerviosa en 1693, Newton se retiró de la investigación. Las teorías acerca de su depresión han sido muchas: desde envenenamiento químico como resultado de sus experimentos alquímicos; frustración con sus investigaciones; el fin de una amistad personal con Fatio de Duillier, un matemático suizo residente en Londres hasta problemas resultantes de sus creencias religiosas. El propio Newton culpaba a la falta de sueño pero esto era casi con certeza un síntoma de la enfermedad más que su causa.

Newton decidió abandonar Cambridge para ocupar un puesto de gobierno en Londres convirtiéndose en el Guardián de la Casa Real de la Moneda en 1696 y en Maestre en 1699. Sin embargo, no dimitió de sus puestos en Cambridge hasta 1701.

En 1703 fue elegido presidente de la Royal Society y fue reelegido cada año hasta su muerte. Fue armado caballero en 1705 por la Reina Ana. Sin embargo la última parte de su vida no fue fácil, dominada en muchos aspectos por la controversia con Leibniz, en la que nos centraremos más adelante, sobre quién había inventado el cálculo infinitesimal.

Murió pacíficamente, entre la una y las dos de la mañana, el 31 de marzo de 1727, a los 85 años. Fue enterrado en la Abadía de Westminster.

Leibniz

Cuatro años era menor que Newton, nació en Leipzig el 1 de julio de 1646; vivió 70 años, y murió en Hanover el 14 de noviembre de 1716. Su padre, profesor de filosofía moral en Leipzig, procedía de una buena familia, que había servido al gobierno de Sajonia durante tres generaciones.

La madre de Leibniz fue Catalina Schmunk, hija de un abogado y tercera esposa de Friedrich Leibniz. Sin embargo, Friedrich Leibniz murió cuando Leibniz tenía sólo seis años y tuvo que ser educado por su madre.

A la edad de siete años, Leibniz ingresó en la Escuela Nicolai en Leipzig. Aunque se le enseñó latín en la escuela, Leibniz aprendió latín avanzado y algo de griego a la edad de 12 años por su cuenta. Parece haber estado motivado por el deseo de leer los libros de su padre. Mientras progresaba en la escuela aprendió la lógica aristotélica y la teoría del razonamiento categórico. Mientras seguía con sus clases en la escuela, Leibniz estudió los libros de su padre. Concretamente leyó libros de metafísica y de teología de escritores católicos y protestantes.

En 1661, a la edad de catorce años, Leibniz entró en la Universidad de Leipzig. Estudió Filosofía, que también se enseñaba en la Universidad de Leipzig, así como Matemáticas, que se enseñaba muy por encima. Se licenció en Filosofía y Letras en 1663 con la tesis De Principio Individui (Sobre el Principio del Individuo).

Hacia octubre de 1663 Leibniz se encontraba de vuelta en Leipzig para terminar sus estudios de Doctor en Leyes. Obtuvo el grado de Maestro en Filosofía con una disertación que combinó aspectos de la Filosofía y el Derecho estudiando las relaciones de estas materias con las ideas matemáticas que había aprendido. Unos pocos días después de presentar su disertación, la madre de Leibniz murió.

Después de obtener la Licenciatura en Derecho, Leibniz trabajó en su habilitación en Filosofía. Su obra fue publicada en 1666 como Dissertatio de Arte Combinatoria (Disertación sobre el Arte de la Combinatoria). En su obra, Leibniz llegó a reducir todos los razonamientos y descubrimientos a una combinación de elementos básicos tales como los números, las letras, los sonidos y los colores.

Sirvió como secretario en la Sociedad de Alquimia de Nuremberg por un tiempo y después conoció al barón Johann Christian von Boineburg. Hacia noviembre de 1667 Leibniz estuvo viviendo en Frankfurt, contratado por Boineburg. Durante los años siguientes Leibniz desarrolló varios proyectos científicos, literarios y políticos. También continuó su carrera de Derecho, instalándose en el Tribunal de Mainz antes de 1670. Una de sus tareas allí, tomada por mandato del Elector de Mainz, fue la mejora del Código Civil Romano de Mainz.

Boineburg era católico mientras que Leibniz era luterano, pero uno de las mayores ilusiones de la vida de Leibniz era la reunificación de las iglesias cristianas y con el apoyo de Boineburg, hizo el borrador de un cierto número de monografías de asuntos religiosos, principalmente para encontrar puntos de encuentro entre ambas iglesias.

Para Leibniz, otro de los mayores deseos de su vida era recopilar todo el conocimiento humano. Por supuesto vio su trabajo en el Código Civil Romano como parte de este esquema y, como una parte más de su plan, Leibniz trató de agrupar el trabajo de las sociedades para coordinar la búsqueda. Leibniz empezó por estudiar el movimiento y, aunque tenía en mente el problema de explicar los resultados de Wren y Huygens sobre las colisiones elásticas, empezó con ideas abstractas sobre el movimiento. En 1671 publicó la Hypothesis Physica Nova (Nueva Hipótesis Física). En su trabajo proclamó, al igual que hizo Kepler, que el movimiento depende de la acción de un espíritu. Se comunicó con Oldenburg, el secretario de la Royal Society de Londres, y dedicó algunos de sus trabajos científicos a la Royal Society y a la Academia de Paris.

Leibniz deseó visitar París para obtener más contactos científicos. Había comenzado la construcción de una máquina calculadora. También en París elaboró un plan político para persuadir a los franceses de que atacaran Egipto. En 1762 Leibniz fue a París en apoyo de Boineburg para intentar usar su plan de distraer a Luís XIV de atacar las zonas alemanas.

En París, Leibniz estudió matemáticas y física bajo la tutela de Christian Huygens, hecho que comenzó en otoño de 1762. También en otoño de 1762, el hijo de Boineburg fue enviado a Paris para estudiar bajo la tutela de Leibniz, lo cual le supuso asegurarse el apoyo financiero. El sobrino de Boineburg acompañaba al hijo de este en una misión diplomática para tratar de persuadir a Luís XIV de que celebrara un congreso de paz. Boineburg murió el 15 de diciembre pero Leibniz continuó siendo apoyado por la familia de este.

 Retrato de Gottfried Leibniz (1646-1716) por Christoph Bernhard Francke cerca de 1700.

En enero de 1763 Leibniz y el sobrino de Boineburg fueron a Inglaterra para intentar la misma misión de paz, al haber fallado el intento en Francia. Leibniz visitó la Royal Society e hizo una demostración de su máquina calculadora aún incompleta. También habló con Hooke, Boyle y Pell. Mientras explicaba sus resultados en las series a Pell, éste le dijo que podría encontrarlas en un libro de Mouton. Al día siguiente consultó el libro de Mouton y descubrió que Pell tenía razón. En la reunión de la Royal Society el 15 de febrero, a la cual Leibniz no acudió, Hooke hizo algunos comentarios desfavorables sobre la máquina calculadora de Leibniz. Leibniz volvió a París al escuchar la noticia de que el Elector de Mainz había muerto. Leibniz se dio cuenta de que sus conocimientos en matemáticas eran menores de lo que a él le hubiera gustado que fueran así que redobló sus esfuerzos en la materia.

La Royal Society de Londres admitió a Leibniz el 19 de abril de 1673. También volvió a coincidir con Huygens quien le dio una lista de libros para leer, entre los que se encontraban obras de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes y Sluze. Comenzó a estudiar la geometría de los infinitesimales[[ii]] y escribió a Oldenburg en la Royal Society en 1674. Oldenburg respondió que Newton y Gregory habían encontrado métodos generales. Sin embargo Leibniz no estaba en los mejores términos con la Royal Society desde que no mantuvo su promesa de terminar su máquina calculadora. En agosto de 1675 Tschirnhaus llegó a París y nació una gran amistad con Leibniz, que se demostró muy provechosa para ambos dentro de las matemáticas.

Fue durante este período en París que Leibniz desarrolló las bases de su versión del cálculo. En 1673 todavía se esforzaba en desarrollar una buena notación para sus cálculos ya que el primer cálculo diferencial era confuso. El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito empleando la notación    f(x) dx por primera vez. En el mismo manuscrito aparece la regla para la derivada del producto. En el otoño de 1676 Leibniz descubrió la famosa fórmula d(x^n ) =nx^(n-1) dx tanto para n entera como para n fraccional.

Leibniz aceptó un puesto del duque de Hanover, Johan Friedrich, de bibliotecario y de Canciller del Tribunal de Hanover. Abandonó París en octubre de 1676 realizando el viaje a Hanover a través de Londres y Holanda.

En Hanover se desarrollo como bibliotecario. Sin embargo emprendió una colección completa de otros proyectos. Por ejemplo uno de esos grandes proyectos empezó en 1678-79, e implicaba el desagüe de las minas de las montañas Harz. Su idea fue emplear energía eólica e hidráulica para accionar las bombas. Diseñó muchos tipos diferentes de molinos de pozos eólicos, bombas, engranajes pero cada uno de estos proyectos terminaba en fracaso. El mismo Leibniz creía que esto se debía a la obstrucción deliberada de los administradores y técnicos, y al temor de los trabajadores de que estas maquinas les costara sus empleos.

Leibniz había alcanzado importantes resultados científicos convirtiéndose en una de las primeras personas que estudiaran geología a través de las observaciones que recopilara para el proyecto Harz. Durante su trabajo fundó la hipótesis de que la Tierra estuvo en sus orígenes fundida.

Otro de los grandes logros de Leibniz en matemáticas fue el desarrollo del sistema binario de aritmética. Perfeccionó su sistema hacia 1679 pero no publicó nada hasta 1701 cuando envió el artículo Essay d'une nouvelle science des nombres (Ensayo sobre una nueva ciencia de los números) a la Academia de París para marcar su elección a la Academia. Otra de las principales obras matemáticas de Leibniz fue su trabajo sobre determinantes que surgió de su desarrollo de métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Aunque no publicó su trabajo en vida, desarrolló muchos acercamientos diferentes al tema intentando muchas notaciones diferentes para averiguar cuál es la más útil. Un artículo inédito con fecha de 22 de enero de 1684 contiene una notación y unos resultados muy satisfactorios.

Otro gran proyecto en el que se embarcó Leibniz, en esta ocasión para el duque Ernst August, fue el escribir la historia de la familia Guelf, de la cual la Casa de Brunswick era parte. Hizo un largo viaje para buscar archivos de material en el que basar su historia.  Aunque Leibniz publicó nueve grandes volúmenes de material de archivo sobre la historia de la familia Guelf, nunca terminaría la obra que le fue encomendada.

En 1684 Leibniz publicó detalles de su cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus en Acta Eruditorum, un diario establecido en Leipzig dos años antes. El artículo contenía la familiar anotación d, las reglas para el cálculo de las derivadas de potencias, productos y cocientes. Sin embargo no contenía demostraciones y Jacobo Bernoulli lo llamó un enigma más que una explicación.

En 1686 Leibniz publicó, en Acta Eruditorum, un artículo en el que trataba el cálculo integral con la primera aparición en imprenta de la notación .

Otra parte importante de la obra matemática emprendida por Leibniz fue su trabajo de dinámica.

Criticó las ideas de Descartes sobre mecánica y examinó lo que eran efectivamente la energía cinética, la energía potencial y el momento. Este trabajo comenzó en 1676 pero volvió a él varias veces, particularmente mientras estaba en Roma en 1689.

Leibniz puso muchas energías en promocionar las sociedades científicas; además  tuvo más de 600 corresponsales, no es exagerado decir que Leibniz mantuvo correspondencia con la mayoría de los eruditos de Europa, muchos de ellos matemáticos. Leibniz además debatió sobre los logaritmos de los números negativos con Johann Bernoulli.

En 1710 Leibniz publicó Théodicée, un trabajo filosófico que intenta enfrentar el problema del mal en un mundo creado por un Dios bueno. Leibniz afirma que el universo tuvo que ser imperfecto, o de otro modo no sería distinto de Dios. En 1714 Leibniz escribió Manadologia, que sintetizaba la filosofía de su primer trabajo, el Théodicée.

Gran parte de la actividad matemática de los últimos años de Leibniz trató sobre la disputa prioritaria de la invención del cálculo diferencial.

Predecesores en el desarrollo del cálculo

En estos días, nosotros atribuimos la invención del cálculo a Newton y Leibniz. Sin embargo, ambos hombres deben muchísimo a sus predecesores inmediatos en el desarrollo del mismo.

No entraremos en detalles aquí sobre cómo se fue desarrollando el cálculo sino que mencionaremos algunos de los hitos más importantes.

Ya los griegos se habían preocupado de cómo tratar el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.

Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo  de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas.

A, A + A/₄, A + A/₄ + A/₁₆, A + A/₄ + A/₁₆ + A/₆₄, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + ¹/₄ + ¹/₄² + ¹/₄³ + ...) = (⁴/₃)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.

La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos.

 Diagrama de Arquímedes

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad.

Fueron Fermat, Roberval y Cavalieri en hacer las siguientes contribuciones importantes. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de x^n entre 0 y a era a^(n+1)/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados.

Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Fermat investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.

Descartes produjo un importante método para determinar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.

Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.

Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent. Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum  de 1647. En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de sus aportaciones más valiosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.

 Triángulo de Barrow

Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-.

El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge.

Orígenes de la disputa

Por lo que sabemos, Newton había comenzado a trabajar desde 1666, cuando apenas contaba con 23 años, en una forma de cálculo cuyo manuscrito denominó (en secreto porque nunca lo publicó en vida) Método de las Fluxiones y Fluentes. Sabemos también que desde 1669, Newton había hecho circular entre un reducido grupo de sus más cercanos discípulos su manuscrito de  De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas, en el que hacía un breve recuento, nada explícito, de una de las aplicaciones de las fluxiones (pero, como veremos, De Analysi per Equationes era un texto secreto, sólo para iniciados, que no saldría a la luz pública hasta 35 años más tarde).

Por otra parte sabemos, gracias a los papeles privados de Leibniz, que éste comenzó a trabajar en su versión del cálculo en 1674 (ocho años después de Newton), cumplidos ya los 28 años, y sin que supiera nada de las fluxiones de Newton puesto que éste nada había publicado al respecto. Dos años después, el 11 de noviembre de 1675, de acuerdo con sus notas de trabajo, Leibniz alcanzó un hito en el desarrollo de su método al lograr emplear el cálculo para encontrar el área bajo la curva de una función.

Debido a la masa de papeles supervivientes de Newton, ahora se ha establecido fuera de toda duda que Newton fue el primero en llegar al cálculo. Él desarrolló por primera vez su teoría de "fluxiones"[[iii]] entre 1665 y 1666. A mediados de 1665, Newton fue capaz de establecer los algoritmos en la generalidad con la que iban a ser expuesta por Leibniz dos décadas después. Además, esto demuestra que Newton no pudo haber plagiado a Leibniz precisamente por el hecho de que alrededor de 1665-66, Leibniz, con veinte años, todavía no sabía nada de matemáticas. Ahora, la otra pregunta que queda por responder es si Leibniz era culpable de plagio. Mientras que los historiadores rápidamente establecieron desde el principio que Newton había llegado al cálculo mucho antes que Leibniz, el caso de Leibniz era diferente. Partidarios de Newton en el siglo 20 elevaron acusaciones de plagio en contra de Leibniz, algunas de las cuales rayan lo ridículo. Por ejemplo deslizan la idea de Leibniz como un propagandista alemán acostumbrado al engaño político y al cual se lo acusa de un bien pensado plan para privar a Newton de todo el crédito. Además de inaugurar el sistema de espionaje en el ámbito científico. En este punto, sin embargo, se ha establecido más allá de toda duda de que Leibniz llegó al cálculo de manera independiente durante el período de 1673 a 1676. En el sentido de que los descubrimientos de Leibniz ocurren cronológicamente en el tiempo después de los de Newton, algunos historiadores han considerado a Leibniz como el segundo inventor del cálculo. Sin embargo, esto no impide ni debería quitarle a Leibniz el crédito que se le deba por inventar los procedimientos algorítmicos del cálculo diferencial.

Las acusaciones contra Leibniz tienen sus raíces en una secuencia de acontecimientos que se produjeron entre 1673 y 1676. Estos eventos jugaron un papel crucial en la disputa que surgió después.

Primera visita a Londres de Leibniz

Antes de 1672, Leibniz era un novato en Matemáticas. Estando en París, conoció a Christiaan Huygens y estudió bajo su tutela. En 1673, Leibniz visitó por primera vez Londres en una misión diplomática. En este momento, él sabía muy poco de Newton, pero tenía impresiones favorables de los conocidos más íntimos de Newton en la Royal Society, Henry Oldenburg[[iv]] y John Collins. Durante su estancia de dos meses en Londres, nunca conoció a Newton. Ni se enteró de nada sobre el trabajo realizado por Newton, ya que ninguna de sus obras estaban todavía impresas. Sin embargo, sí se reunió con Oldenburg y otros matemáticos, estos probablemente tenían una idea de los trabajos sobre series  realizado por los matemáticos en el continente. Durante su estancia en Londres, compró una copia de las Conferencias geométricas de Isaac Barrow, el predecesor de Newton en la cátedra Lucasiana de matemáticas en Cambridge. Esto es significativo ya que Barrow había trabajado en el método de tangentes (íntimamente relacionado con el cálculo diferencial) y el libro contenía una exposición sobre este tema. Newton y sus seguidores utilizaron este hecho en el conflicto y acusaron a Leibniz de no darle el crédito merecido a Barrow. Sin embargo, los seguidores de Leibniz negaron que este haya leído dicho libro antes de desarrollar su cálculo diferencial. Fue durante esta visita a Londres que Leibniz fue acusado de plagio por Pell. Aunque Leibniz se las arregló para absolver el caso al mostrar sus notas privadas, este incidente fue utilizado más adelante por Newton contra él.

 Su primera obra  sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió a Newton la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La foto muestra la portada de su primera edición donde además se puede ver el cálculo del área bajo la parábola x m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas.

Una vez que Leibniz volvió a París, comenzó a estudiar las obras matemáticas de Cavalieri, James Gregory, Pascal, Sluse y otros. También comenzó a trabajar en series. Además él estaba en correspondencia con Henry Oldenburg. De los informes matemáticos y cartas que Leibniz recibió de Oldenburg, aprendió del trabajo británico sobre las series infinitas y así se enteró de que algunos de sus trabajos sobre series había sido anticipado por los británicos (en particular, Gregory y Newton). Como resultado, Leibniz todo el tiempo tenía la impresión de que la mayor experiencia de Newton era en el método de series. Los dos famosas cartas de 1676 escrita por Newton no hizo más que confirmar esta impresión de Leibniz.

En octubre de 1675, Leibniz desarrolló las ideas de su cálculo diferencial. Dado que, hasta la fecha, ninguna de las obras de Newton habían sido publicados, Leibniz no tenía forma de saber que Newton ya había llegado al cálculo. La única manera que podía saber algo acerca de la obra de Newton era a través de su correspondencia con Oldenburg y Collins. Sin embargo, Hall menciona que esta correspondencia a principios del verano de 1675 estaba relacionada con álgebra en lugar del cálculo. Más tarde, cuando la disputa ya estaba en marcha, Los Newtonianos argumentaron que Leibniz aprendió mucho acerca de las matemáticas británicas de Tschirnhaus[[v]] que pasó algún tiempo en Inglaterra antes de su visita a Leibniz en 1675. Sin embargo, las notas hechas por Leibniz indican que sólo tenía conversaciones casuales con Tschirnhaus y por lo tanto no pudo haber aprendido mucho.

Segunda visita a Londres en 1676

Para ese entonces Leibniz llevaba más de dos años trabajando en su versión del cálculo. Durante su segunda visita a Londres se reunió con Oldenburg y Collins y con otros discípulos de Newton, nunca con éste, y cabe la posibilidad de que Collins le hubiese mostrado una copia del manuscrito de De Analysi per Equationes, que habría llegado a sus manos a través de Isaac Barrow a quien se la había prestado el propio Newton. Este tipo de intercambio científico no era extraño y, dado el carácter de Leibniz, tampoco parece ni extraño ni imposible que éste hubiese indagado hasta llegar a ver una copia del manuscrito. La avidez de Leibniz por el conocimiento era, incluso entonces, proverbial: había viajado por Europa de un extremo a otro visitando los centros culturales más importantes, conocía la mayor parte de las lenguas del viejo continente y mantenía (y mantuvo a lo largo de su vida) intercambio epistolar permanente con los académicos más destacados de su tiempo.

Collins preparó un compendio de la obra de Gregory y también del cálculo Fluxional de Newton. Durante su segunda visita a Londres en 1676, Leibniz tuvo la oportunidad obtener este compendio. Se plantea la sospecha de que Leibniz llegó a importantes conclusiones de tal lectura. El historiador Hall admite que Leibniz podía haber dado los primeros pasos independientes sobre diferenciación, y luego, al ver La obra de Newton y de haber apreciado su valor, pasó a "Tomar prestado" el desarrollo del cálculo con su propia notación. Leibniz tomó largas notas sobre el Análisis de Newton, escrito en 1669, pero estas notas se ocupaban exclusivamente de series. Leibniz hizo alusiones breves y oscuras a lo que es el equivalente a la diferenciación de Newton porque no había en ello nada nuevo para él. Por lo tanto, si se acepta que Leibniz desarrolló su cálculo diferencial en 1675, este razonamiento suena muy plausible.

A su regreso de Londres, lleno de nuevas ideas, Leibniz siguió con fervor desde París los avances matemáticos de los británicos en especial a través de un constante intercambio epistolar con Oldenburg. La correspondencia Leibniz-Oldenburg muestra el interés de Leibniz no sólo por todos los problemas científicos de entonces, sino ante todo por los relacionados con series infinitas y curvaturas. En varias ocasiones, cuando Oldenburg no se consideró en capacidad de responder las preguntas de su corresponsal, remitió la carta a alguno de los miembros de la Royal Society para que le diera respuesta directa.

Correspondencia entre Newton y Leibniz

En una de esas ocasiones la carta de Leibniz a Oldenburg terminó en manos de Newton quien, a pesar de su renuencia, le dio respuesta. La primera misiva de Newton a Leibniz fechada el 13 de junio de 1676 y conocida como epístola prior, está llena de generalidades sobre el desarrollo de las matemáticas británicas. En junio de 1676, Newton Menciona que todas las curvas por lo tanto pueden ser reducidas a series infinitas y que las áreas y longitudes de curvas, y los volúmenes y superficies de sólidos puede calcularse a partir de estas series. Newton no discute fluxiones en toda la carta. Newton no habla de su cálculo fluxional explícitamente y dado que Leibniz pensaba que Newton esencialmente era un experto en el método de series, Leibniz no vio ninguna similitud con su propio trabajo sobre el cálculo. Inmediatamente, De todas maneras, es indudable que, a partir de las preguntas de su interlocutor, Newton había captado que los hallazgos de Leibniz iban en la misma dirección que su Método de las Fluxiones y Fluentes, pero como no sabía qué tan cerca estaba, no quería darle la más mínima pista.

En su inmediata respuesta a la epístola prior, el 27 de agosto de 1676, Leibniz se muestra demasiado entusiasmado con las vagas respuestas de Newton e indaga por más, añadiendo al final que él mismo posee un Nuevo Método capaz de resolver todos esos problemas mencionados por Newton sin necesidad de los múltiples métodos individuales que serían necesarios para resolver cada caso particular.

 Consideremos una curva continua no cerrada cuya ecuación es y = f(x) en coordenadas cartesianas. Si Procedemos como Arquímedes hizo, dividiendo el área pedida en fajas paralelas de igual anchura, considerando estas fajas como rectángulos, despreciando los fragmentos triangulares superiores, sumando las áreas de todos estos rectángulos, y finalmente calculando el límite de esta suma cuando el número de rectángulos aumenta indefinidamente, se puede obtener el area de la curva. Este limite se puede obtener empleando el teorema fundamental del calculo, que Newton logró desarrollar, en donde la integral de f(x) de 'a' a 'b'(el area que queremos calcular) es igual a la derivada de f(x) en a menos la derivada de f(x) en b ó F(a)-F(b).

Ante semejante afirmación, la segunda misiva de Newton, conocida como epístola posterior, no se hizo esperar. Fechada el 24 de octubre de 1676, ya es obvio en ella que Newton no quería seguir jugando al gato y al ratón y que había comprendido el alcance de la invención de Leibniz. La conjetura de Newton era que, si era cierta la afirmación de aquél sobre el tal Nuevo Método, era éste una herramienta superior o por lo menos igual de poderosa a su inédito Método de las Fluxiones y Fluentes y, en consecuencia, lo que en realidad preguntaba Leibniz con tanta insistencia a los miembros de la Royal Society a través de Oldenburg era si los británicos habían desarrollado algo similar o cercano al Nuevo Método. Puesto que la respuesta estaba ahora en manos del propio Newton, éste tuvo muy claro que en su réplica a Leibniz no podía quedar ninguna duda sobre a quién correspondía la prioridad en la invención de un método cualquiera para hacer esos cálculos, pero Newton ya había calibrado la enormidad de los conocimientos de Leibniz; de hecho, en la misiva a Oldenburg que acompañaba a la epistola posterior antes de que éste la reenviara a Leibniz lo reconoce abiertamente (aunque a su manera): “Leibniz ha desarrollado varios métodos, uno de los cuales es desconocido para mí”. Si algo tenía claro Newton era qué responderle a Leibniz, incluso de manera indirecta mostrándole en acción lo que podía hacer a partir de su método, así fuese con un solo ejemplo, hubiese significado señalarle la vía hacia el sendero secreto de su nunca publicado Método de las Fluxiones y Fluentes. En esta segunda carta que Newton escribió en Octubre 1676 como una respuesta a la carta de Leibniz, Newton mencionó que había obtenido un método general de dibujar tangentes, para determinar los mínimos y máximos y otros temas que no quería revelar. Ocultó la mención de "fluxiones" y "fluentes" (que son en cierto modo, similar a las derivadas e integrales), en un anagrama. Por lo tanto, estas dos cartas de 1676 no le dijo mucho a Leibniz acerca del cálculo fluxional de Newton salvo que Newton tenía algo similar al cálculo desarrollado por Leibniz.

Mediante ambos artilugios, el anagrama y el criptograma, Newton escondió una frase que, una vez develada, probaría de manera indudable que, al momento de sellar el enigma, poseía un método matemático capaz de realizar todos los cálculos que afirmaba. Dejar una respuesta cifrada en una carta o en una presentación académica era un método bastante común en esos días de asegurar la prioridad de un descubrimiento sin revelarlo. Obviamente, Newton lo sabía, su acertijo era indescifrable mediante cualquier método diferente a preguntarle al propio Newton cuáles habían sido las claves utilizadas, primero para transponer todas las letras de la frase original en una nueva frase y, segundo, para codificar por sustitución cada letra remplazándola por una diferente o por un número.

Newton reivindicaría, justificadamente, que: “... no se resolvió ni un solo problema de los que no se habían resuelto anteriormente...”.

Ahora bien, cuando la  epístola posterior llegó a París, Leibniz ya no estaba allí, se había trasladado a Hanover. La carta no lo alcanzaría sino ocho meses después, en junio de 1677. Leibniz le respondió a Newton el 21 de ese mismo mes con una carta transparente, sin ambigüedades, sin anagramas ni criptogramas, revelándole su Nuevo Método: todo cuanto ha desarrollado del cálculo integral, de sus reglas, de su algoritmo, de la manera de formar ecuaciones diferenciales y de cómo aplicar este proceso a la geometría analítica.  En ese momento Newton tuvo la certeza de que no se había equivocado un ápice en su valoración inicial de las capacidades de Leibniz, de hecho el método de las fluxiones carecía de un algoritmo general como el que poseía el Nuevo Método de Leibniz y por tanto no tenía ni la generalidad ni los alcances de éste. Al fin de cuentas, Newton había ido desarrollando su método de manera sintética, como se solía decir entonces, partiendo de problemas concretos (en su caso los del movimiento de los cuerpos) para llegar a generalizaciones cada vez más vastas pero nunca completas.

Extrañamente, Newton nunca dio respuesta a la carta de Leibniz, y por el momento tampoco comentó nada a nadie sobre el Nuevo Método que Leibniz había desarrollado y que, además, le había comunicado sin tapujos. El 3 de septiembre de 1677, a los 58 años de edad, murió Oldenburg como consecuencia de una enfermedad febril, de tal manera que no hubo quien acicateara la correspondencia entre los dos. En un comentario que haría Newton veinte años más tarde con respecto a la respuesta de Leibniz, dejó en claro que consideraba que éste se había tomado ocho meses sin responder su epístola posterior con el único fin de preparar la respuesta, comentario que obliga a pensar que Newton no tomó en cuenta que su epístola posterior había tardado todo ese tiempo en llegar a manos del destinatario.

Cuando todo iba bien…

Los historiadores difieren sobre la cuestión de cuándo se inició el conflicto. Hall menciona que algunos historiadores han tendido a ver el comienzo del conflicto a partir de 1676 y asignarle a Newton un rol de oponente, desconfiado y vigilante del desarrollo matemático de Leibniz. Sin embargo, como Hall argumenta, es más bien una visión extremista. Si Newton tenía de hecho tales opiniones de Leibniz, Newton no le habría escrito esas cartas de 1676 a Leibniz.

En 1684, Leibniz publicó su cálculo en el Acta-Eruditorum [[vi]]. Por lo tanto, a pesar de que Leibniz había desarrollado su cálculo ya en 1675 solo lo publicó 9 años después. Si lo habría publicado justo en 1675 Leibniz probablemente no se habría enfrentado a las acusaciones, por lo menos, muchos de los argumentos utilizados en su contra no se habrían producido. El mismo año en el que Leibniz publicó su Nuevo Método, Newton comenzó a trabajar en la que sería su obra más importante: Principios Matemáticos de la Filosofía Natural (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica o, abreviado, Principia). Los Principia salieron a la luz en 1687, 21 años después de que Newton hubiera comenzado a trabajar en su aún inédito Método de las Fluxiones y Fluentes y tres años después de la publicación del Nuevo Método de Leibniz. Aunque en ninguna parte de los Principia muestra Newton cómo funcionan sus fluxiones o sus fluentes, a todo lo largo y ancho de la obra es posible encontrar ideas y resultados que, vistos ahora en perspectiva, sólo pudieron ser establecidos mediante la aplicación de lo que en la actualidad llamamos cálculo diferencial. En la sección I del libro I, por ejemplo, Newton muestra, sin tomarse el trabajo de entrar en detalles sobre cómo lo logra, los resultados de una diferenciación que, hoy podemos afirmarlo, se basa claramente en su Método de las Fluxiones y Fluentes y que correspondería a la solución de un problema mediante nuestro Cálculo Diferencial actual.

 Página del título de Philosophiae naturalis principia mathematica de Newton.

Newton aprovecha la mención del término "Fluxion" para agregar una larga nota al pie, a la que denomina escolio como si se tratara de una de las tantas otras notas explicativas que agregó aquí y allá en el texto, en la que en realidad no hay explicación alguna sobre las fluxiones; en su lugar hace una serie de declaraciones autobiográficas que francamente parecen fuera de lugar en ese sitio y en los Principia: afirma que hace unos diez años sostuvo correspondencia con el Geometra peritissimo (experto geómetra) Leibniz y que en dicha correspondencia Newton le confió a Leibniz que poseía un método para la determinación de máximas y mínimas, para dibujar tangentes y para realizar operaciones similares independientemente de que se tratara de números racionales o irracionales; añade Newton en su escolio que en la epístola posterior dejó consignado un criptograma que prueba que, antes de que Leibniz publicara su Nuevo Método, él ya estaba en posesión de un método de cálculo general como el que publicó Leibniz y que la prueba de ello es que la solución del criptograma es: “Data aequatione quotcunq, fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, et vice versa”, cuya traducción literal sería “Dada una ecuación que involucre cantidades fluentes, encontrar las fluxiones y viceversa”. Al final del antedicho escolio vuelve Newton a mencionar a Leibniz, llamándolo Vir Clarissimus (hombre ilustre) para reconocer que éste, en la respuesta a su epístola posterior, le había comunicado el Nuevo Método de cálculo del que ya le había hablado en la respuesta a la epístola prior, y que dicho método (para la época de la publicación de los Principia ya en el dominio público) “difícilmente difiere del mío excepto en palabras y en notación”.

Hall menciona que la forma de los argumentos matemáticos en los Principia son mucho más familiares y cómodos que el del cálculo de fluxiones o el cálculo diferencial de Leibniz, es decir, Newton nunca introdujo explícitamente el cálculo fluxional. Por lo tanto, cuando Newton presenta el "lema fluxión" (Lemma II de Libro II), nunca más lo usa en el libro. Newton afirma que informó a Leibniz a través de las cartas de 1676 que poseía el cálculo fluxional. Newton dice que, en respuesta, Leibniz le describió su cálculo diferencial, que parece lo mismo que su cálculo fluxional a excepción de la notación. Tenga en cuenta que nunca Newton afirma que Leibniz habría aprendido nada de él. Sin embargo, no sabemos si en este momento, Newton considera a Leibniz como el segundo inventor o si creía que Leibniz habiá visto sus trabajos sobre cálculo fluxional. Algunos historiadores creen que es muy probable que Newton, efectivamente, considerara a Leibniz como un segundo inventor del cálculo. Parece que Newton informo esto para que pudiera indicar su afirmación acerca de la invención del cálculo y afirmar su independencia de Leibniz, ya que se dio cuenta de que el cálculo fluxional y el diferencial eran muy similares. Era especialmente importante para Newton exponer su reivindicación sobre su descubrimiento independiente desde que se dio cuenta de la importancia del cálculo con respecto a la solución de problemas importantes. Después de todo, él tenía utilizado con éxito su cálculo fluxional en la prestación de justificaciones matemáticas en los Principia. La obra de Newton fue apenas mejor conocido por sus compatriotas que por Leibniz, simplemente porque Newton nunca publicaba ninguna de sus obras. En cualquier caso, en esta época, todo parece estar bien entre Newton y Leibniz.

Si bien es cierto que Newton no había publicado antes de 1687 sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo había enviado a John Collins.

En 1696, el Marqués de L’Hôpital, quien había aprendido el Nuevo Método de Leibniz con Johann Bernoulli, quien a su vez lo había aprendido directamente de Leibniz, publicó el primer libro que se haya impreso en la historia sobre el Cálculo Infinitesimal: Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes[[vii]]. En el prólogo a dicho texto, además de reconocer su deuda con “el joven Bernoulli” y con “Monsieur Leibniz”, el Marqués de L’Hôpital admite que también tiene una deuda de justicia con Newton, deuda que, según él, Leibniz mismo reconoce: “Existe aún una justa deuda con el sabio Newton, que el propio Leibniz le ha restituido: que también él encontró algo parecido al cálculo diferencial, como parece ser por el excelente libro titulado Philosophia Naturalis Principia Mathematica, que nos dio en 1687, el cual es casi todo de este cálculo. Pero la característica del Sr. Leibniz hace lo suyo mucho más fácil y más expeditivo”.

 Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes del Marqués de L’Hôpital.

Primeros pasos

El siguiente acontecimiento importante en nuestra historia fue la llegada en 1693 de la edición revisada de Algebra de John Wallis[[viii]]. En este libro, Wallis publicó un breve ensayo sobre el cálculo de fluxiones. Dos años más tarde, en 1695, Wallis publicó sus trabajos matemáticos. En el Volumen II se presenta un ensayo sobre el cálculo de fluxiones. Newton da luego otra versión de su cálculo en "Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum" que fue escrito en 1671 y publicado en 1736. Wallis, con permiso de Newton, incluyó el método de fluxiones en la páginas 390-396 de su Algebra. Wallis incluyo un breve ensayo, en el que sin lugar a dudas intervino la mano de Newton, sobre la utilidad de las fluxiones y fluentes en ciertos casos particulares. En dicho ensayo se vuelve a insistir en que Newton poseía desde hacía mucho tiempo, y sobre todo mucho tiempo antes de la publicación de Leibniz, una notación para el Cálculo Diferencial inventada por él mismo. Sin embargo, Wallis engaña al lector al afirmar que obtuvo este método de las cartas de Newton de 1676. Esto puede hacer llegar a la conclusión de que Newton entonces había comunicado su método de fluxiones a Leibniz en 1676 antes de que éste publicara su cálculo. Esto, como sabemos, es totalmente falso. Aquí, tal vez, por primera vez, vemos sugerencias de parte de los Newtonianos que Leibniz podría haber plagiado el trabajo de Newton.

 El Algebra de John Wallis.

Hall arroja algo de luz sobre este comportamiento de Wallis. Wallis a lo largo de su vida había luchado por las reivindicaciones de Los ingleses contra los extranjeros. Él había difamado a casi todos los matemáticos extranjeros con quienes entró en contacto.

En 1696, Johann Bernoulli, quien fue clave en el desarrollo del cálculo diferencial, presento un problema de desafío, que ahora se conoce como el problema de la braquistócrona[[ix]]. El problema se publicó en el Acta Eruditorum y fue dirigida a "los más astutos matemáticos en el mundo". Copias del problema fueron publicadas a Newton y Wallis. Algunos historiadores creen que el problema se planteó para demostrar que el método de fluxiones no era tan poderoso como el cálculo diferencial. Si en efecto Bernoulli creía que Newton era incapaz de resolver el problema, entonces cuando recibió una solución anónima, no habría adivinado sin sorpresa alguna que la solución vino del propio Newton[[x]]. En un momento posterior, Leibniz publicó una revisión del problema, donde dice que sólo aquellos que entendieron los misterios de "nuestro" cálculo diferencial lograron resolver el problema. En este punto, otro personaje hace su entrada en la escena.

 Número de junio de 1696 de las Actas Eroditorum, donde aparece el artículo de Bernoulli con el problema de la braquistocrona. En realidad era un reto encubierto a Newton.

Fatio de Duiller era un suizo matemático que se había asociado durante algún tiempo en el pasado tanto con Leibniz como con Huygens. Pero, más tarde, se desplazó al campo newtoniano. En 1696, él ya se había convertido en un ferviente seguidor y amigo íntimo de Newton. Instó en su publicación la curva de descenso más rápido y el sólido de menor resistencia, que apareció en 1699, que Newton fue el primer inventor del cálculo, y que él dijo esto en aras de la verdad y de su propia conciencia, y dejó a los demás la tarea de determinar lo que Leibniz, el segundo inventor, había tomado del matemático Inglés. Fatio interpretó las declaraciones de Leibniz en el sentido de que Newton había aprendido el cálculo de Leibniz. En la lista de los matemáticos que Leibniz mencionó como capaces de resolver el problema, Fatio no estaba presente. Fatio percibió esto como un insulto y no lo tomó a la ligera.

Mientras tanto, Bernoulli en una carta privada a Leibniz, preguntó si Newton desarrolló su método después de haber visto el cálculo de Leibniz que este último había comunicado a Newton en 1677. Esta fue la primera sugerencia de plagio del otro lado. Sin embargo, Fatio, en 1699, publicó sus investigaciones anteriormente dichas en las que afirma que Newton es el primer inventor del cálculo. Una vez más, no está del todo claro si Newton apoyó a Fatio. Leibniz probablemente creía que Newton era un ignorante de esto y esperó a Newton para ver como se declaraba al respecto. Pero, cuando Newton guardó silencio, Leibniz desestimó estos cargos como dichos por un joven tosco y celoso. Fatio intentó refutar estos argumentos pero se negó a publicar su descargo. Así, todo quedó en silencio durante algún tiempo.

Comienzan las acusaciones:

Leibniz finalmente publicó su cálculo diferencial en un tratado en 1684, casi 8 años después de su segunda visita a Londres. Combinado con el hecho de que el cálculo fluxional y cálculo diferencial son muy similares en términos de su aplicabilidad en la solución de problemas, se puede ver cómo todos estos eventos anteriores se pudieron utilizar para construir un caso de plagio contra Leibniz. El formalismo de Leibniz se probaría de vital importancia en el desarrollo posterior del cálculo diferencial. Leibniz nunca pensó en las derivadas como un límite. Esto no aparecerá hasta los trabajos de d'Alembert[[xi]].

 En 1712, cuando el conflicto ya había cobrado impulso suficiente, Newton estaba convencido de que el cálculo de Leibniz no fue un descubrimiento independiente, sólo una imitación de su propio cálculo de fluxiones. Sus argumentos fueron así:

1. Leibniz estaba en Londres en 1673, desde donde se trasladó a París. Desde París, estaba en constante correspondencia con Collins y Oldenburg. Aprendió mucho de las matemáticas británicas, especialmente de Gregory y Newton, a través de esta correspondencia.

2. Durante esta primera visita, Leibniz sostuvo un método sobre series que ya había sido publicado(La disputa con Pell anteriormente mencionada). Con esto Se pretende dar a entender que Leibniz había mostrado tendencias al plagio.

3. Leibniz aprendió más de Tschirnhaus en 1675, cuando éste visitó a Leibniz en París.

4. Leibniz nunca reconoció antes de 1677 que no tenía ningún tipo de desarrollo sobre cálculo en absoluto. En 1676, Él consiguió de Collins un compendio de cartas y tratados. Esta contenía la carta de Newton a Collins de 1672 en el cual el cálculo fluxional era descrito completamente. Por lo tanto, tuvo todo un año en el que estudiar cálculo fluxional de Newton y adecuadamente modificarlo y reclamarlo como propio en su carta de 1677.

5. Leibniz tuvo el beneficio de las dos cartas de 1676 a partir de la cual podía haber extraído información.

6. Leibniz tuvo acceso a todos los materiales que estaban en posesión de Collins durante su segunda visita a Londres en 1676.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, Newton afirmó que Leibniz fue capaz de reconstruir, sobre la base de los trabajos publicados por Gregory y Barrow, el cálculo fluxional de Newton en la forma de cálculo diferencial. Muchos de esto argumentos se presentaron en el informe de la comisión que fue instituido por la Royal Society para investigar la disputa, que veremos más adelante.

 "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas"(Nuevo metodo). En este artículo de 6 páginas -e incomprensible como el mismo luego reconoce- Leibnitz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo diferencial.

Tal vez la acusación más grave contra Leibniz de ellas es el punto 4. Sin embargo, Newton está extremadamente equivocado aquí. El compendio nunca fue enviado a París. En cambio, sólo recibió un breve Resumen informativo. Además, Leibniz accedió al compendio sólo durante su visita a Londres en 1676. Así, antes de 1676, Leibniz no podía saber mucho sobre el cálculo fluxional de Newton. La segunda carta de Newton de 1676 llegó a Leibniz en 1677 y más allá de que no contiene ningún detalle sobre su cálculo, Leibniz no podría haber obtenido algo de valor a partir de estas cartas, ya sea la de 1676. Por lo tanto, los acontecimientos del período comprendido entre 1673-1676 ponían a Leibniz en una situación en la que podría ser fácilmente acusado de plagio. El argumento de que Leibniz tenía acceso a los materiales en posesión de Collins y por lo tanto, habría aprendido de cálculo de Newton es difícil de contrarrestar. Sin ninguna prueba que absolver Leibniz, de hecho es muy difícil juzgar lo que Leibniz habría recogido de esos documentos. De hecho, si no supiéramos hoy que Leibniz había llegado independientemente a su cálculo en 1675, sería difícil reconocerlo como inventor independiente, aunque en realidad lo era. Hofmann, un estudioso de Leibniz, intenta defenderlo de las acusaciones de plagio. Hofmann dice que Leibniz no podría haber aprendido algo útil a partir de su visita a Londres en 1673 porque era virtualmente ignorante de las matemáticas. Dice que Tschirnhaus no podría haber impartido nada útil a Leibniz durante su visita a París 1675. Él dice que Leibniz no leyó el Libro de Barrow hasta después de que descubrió el cálculo porque él (Hofmann) no encontró ninguna nota fechada en ellas. Afirma que parte de la correspondencia de Collins es irrelevante porque no insinúa ningún verdadero conocimiento constructivo.

Continua la disputa

Así, en 1700, la polémica había comenzado. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que hasta este tiempo, ni Newton ni Leibniz estaban directamente involucrados en esta controversia. En el campo newtoniano, fue Wallis inicialmente y Fatio quienes se encargaron de iniciar la pelea. Newton, todo el tiempo se movió por un costado. Por un lado, aceptaba los logros de Leibniz, pero por otro lado, nunca se disoció de las acusaciones realizadas por sus seguidores. Por el lado de Leibniz, Bernoulli presentó los reclamos de este sobre la invención del cálculo. Leibniz también hizo valer sus reivindicaciones a la invención del cálculo infinitesimal. Sin embargo, como se mencionó antes, Bernoulli fue tan lejos como para sugerir que Newton podría haber plagiado a Leibniz. Como en el caso de Newton, Rupert Hall dice que Leibniz no buscó de Bernoulli una acusación hacia Newton y fue ansioso por cambiar de tema cuando Bernoulli lo planteó. Sin embargo, como veremos, todo esto iba a cambiar muy rápidamente en los años siguientes.

El siguiente incidente importante en la disputa entre Newton y Leibniz fue la publicación de Newton de los dos tratados matemáticos (Sobre la cuadratura de las curvas, la enumeración de las líneas de Tercer Orden) en 1704.

En 1704, ocho años después del libro del Marqués de L’Hôpital, once años después del Álgebra de Wallis, 20 años después de la publicación de Leibniz y 38 años después de haber comenzado el manuscrito sobre el Método de las Fluxiones y Fluentes, Newton publicó De Analysi per Equationes. En él explica personalmente, pero otra vez sólo para ciertos casos particulares, cómo funcionan sus fluxiones y sus fluentes. Pero ni siquiera esta vez aparece De Analysi per Equationes como un texto independiente, sino que forma parte de De Quadratura Curvarum. El texto completo del Método de las Fluxiones y Fluente sigue, entre tanto, sin aparecer. El contenido del primer tratado alteró drásticamente la visión de Leibniz de la evolución de Newton como matemático. Cuando Leibniz leyó este tratado, probablemente se dio cuenta de que el cálculo fluxional de Newton era tan general y poderoso como su propio cálculo. Además, se dio cuenta de que era muy idéntico a su cálculo diferencial e integral a excepción de la notación. Así, Leibniz se dio cuenta de que los amigos de Newton habían estado todo el tiempo reivindicando la prioridad del cálculo y no para el descubrimiento de algunos métodos inferiores. Leibniz sabía que su cálculo era el inicio de un gran sistema de las matemáticas y tenía un potencial enorme.

 John Wallis.

Se ha sugerido que sólo después del notable éxito del cálculo leibniziano que Newton llegó a considerar su método de fluxiones como un tema nuevo y un modo organizado de expresión matemática y no simplemente como una modificación útil de las normas anteriores.

En 1703, George Cheyne, un Newtoniano, publicó un libro "Sobre el método inverso de fluxiones", que era un tratado sobre el cálculo integral sobre la base de Newton y Gregory. Al final del libro, declaró que todo lo que se ha publicado en los últimos 24 años es más que una repetición de lo que Newton hacía mucho tiempo había comunicado a sus amigos o al público. Era muy parcial de Cheyne atribuir por tanto todos los logros a los británicos. Esto, naturalmente, sorprendió tanto a Bernoulli como a Leibniz. Leibniz reaccionó a esta sugerencia al presentar a Cheyne como un principiante con poca comprensión acerca del tema. Además, su desprecio por Cheyne indujo a Leibniz a afirmar que nunca se encontró ningún indicio de que el cálculo diferencial o cualquier equivalente que se conoció a Newton lo descubriera antes que él (Leibniz). Aquí, vemos un cambio en las opiniones de Leibniz. Anteriormente, en 1676, había admitido fácilmente en su carta de 1677 a Newton, que estaba convencido de que Newton también fue inventor de algo análogo. Por lo tanto, este conjunto de acontecimientos había iniciado un proceso por el cual estaba dispuesto a descartar cualquier evidencia de Newton como inventor independiente del cálculo. Cuando Newton publicó sus tratados en 1704, Leibniz no podía considerar esta tardía aparición de Newton como un hecho trivial, a la luz de la discusión anterior. Además, Leibniz no sabía nada de la inmediata historia de los tratados. Esto podría haber despertado sospechas en él sobre los derechos de prioridad de Newton.

En ese mismo año 1704, cinco años después del ataque de Fatio contra Leibniz, un revisor anónimo se detuvo en De Quadratura Curvarum y escribió en Acta Eruditorum una crítica bastante ácida sobre el trabajo de Newton, insinuando que Newton había tomado prestada de Leibniz la idea de su método de fluxiones y fluentes. Dicha conclusión era apenas obvia: todo cuanto aparecía en De Quadratura Curvarum podía realizarse, y de una manera más sencilla y elegante, con base en el método de Leibniz publicado veinte años antes en la misma Acta Eruditorum y explicado a cabalidad ocho años antes en el libro del Marqués de L’Hôpital. Además, afirma: "Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibnitz en estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En consecuencia, en lugar de las diferencias que emplea Leibniz, el Sr. Newton emplea, y siempre ha utilizado, fluxiones, Él ha hecho un uso elegante de éstos tanto en sus Principia Mathematica y en otras publicaciones ya que, como Honore Fabri en su Sinopsis Geometrica sustituyó el avance de movimientos por el método de Cavalieri. ". Era bien sabido en ese momento que Fabri simplemente tomo prestado el método de Cavalieri y cambió el modo de expresión. Dado este fondo histórico, la analogía que Leibniz(fue el ”revisor anónimo”) emplea inmediatamente nos lleva a creer que Newton le había robado el trabajo. Este punto de vista es tanto más reforzado dado la naturaleza de la publicación de Leibniz. De hecho, esta es la interpretación asumida por algunos historiadores. Sin embargo, otros lo ven de otra manera. Leibniz muestra muy mal gusto cuando compara a Newton con Fabri, quien claramente había plagiado el trabajo de Cavalieri. Aunque Leibniz más tarde negó esta implicación, el daño ya estaba hecho.

Aunque siempre lo negó, parece ser que el propio Leibniz escribió la revisión o, por lo menos, dirigió la mano y el pensamiento de quien la escribió. La reacción de Newton no se hizo esperar. El asunto fue examinado a fondo por los discípulos de Newton quienes lograron dar un giro de 180 grados a la acusación: ¿no habría sido más bien Leibniz quien derivó de Newton las ideas fundamentales de su Nuevo Método? Obviamente, ellos no tenían a mano los papeles privados de Leibniz, mediante los cuales podemos afirmar en la actualidad que éste estaba trabajando en el asunto al menos desde 1674, pero el caso es que, a partir de la publicación del revisor anónimo, todos los matemáticos británicos, la mayoría discípulos de Newton, comenzaron a ponerse en contra de Leibniz, mientras que simultáneamente, poco a poco, corresponsales y discípulos de Leibniz, casi todos continentales, se fueron aglutinando alrededor de éste bajo la dirección de Johann Bernoulli[[xii]].

Newton, por su parte, probablemente no leyó la revisión o no pudo interpretar ninguna mala intención en él. Leibniz, por su parte, se contentó con dejar que la situación, de hecho ambigua, dure indefinidamente. Además, Leibniz, y un montón de otros filósofos mecánicos de la época pensaban que Newton, que era en ese tiempo principalmente visto como un brillante matemático, se equivocó en las teorías físicas que Propuso. En consecuencia, Hall sostiene que Leibniz no tenía algún motivo para temer que la reputación de Newton mejoraría fuera de Inglaterra, debido a sus teorías físicas. Así, Leibniz no tenía ningún motivo para romper la paz, aunque inquieta, que reinó.

La precaria paz duró sólo cuatro años. John Keill, un newtoniano, fue el culpable. Keill fue alumno de David Gregory quien probablemente le introdujo los conceptos de Newton. Hall sostiene, que tanto Keill como Fatio de Duillier, escribió su primera defensa de Newton sin consultar al propio Newton. En 1708, Keill escribió un documento sobre las leyes de la fuerza centrípeta publicado en las Philosophical Transactions de la Royal Society, que recién vio la luz en 1710. En este trabajo, Keill reclama a Newton como inventor del cálculo. Además, afirma que las publicaciones de Leibniz eran esencialmente las mismas que las de Newton excepto en "tener distintos el nombre y el simbolismo”.

Hall explica la motivación detrás de las acciones de Keill. Al parecer, Keill percibió que él era el blanco principal de las críticas en el Acta Eruditorum contra las "fuerzas de atracción". Leibniz, aunque inicialmente inclinado a favor de Newton, había cambiado por esta vez, como ya hemos visto. Hall afirma que en esta ocasión es prácticamente seguro que Newton dió su apoyo a Keill.

Ofendido por los comentarios de Keill, Leibniz escribió a Hans Sloane, secretario de la Royal Society, solicitando a la Royal society que Keill pida disculpas públicamente por sus comentarios. Sloane buscó el consejo de Newton en la carta, que en ese momento era el presidente de la Royal Society. Newton, por su parte, se entrevistó personalmente con Keill. En este momento, Keill se justificó al señalar las revisiones anteriores en el Acta. Al leer las opiniones, Newton estuvo de acuerdo con Keill que había sido en todas partes privado de su descubrimiento. Además se encontró que su "Sobre la cuadratura de las curvas" se consideró como una recopilación de trabajos anteriores realizados por Leibniz. Fue en esta época que Newton dio su apoyo a Keill. Cuando Keill se defendió con éxito frente a la Royal Society, en referencia a las críticas del Acta, esta ahora aprobaba a Keill a presentar una respuesta por escrito de la cuestión. En la carta que envía Keill, modificó sus declaraciones anteriores y en su lugar afirmó que Newton descubrió el cálculo antes que Leibniz y opinó que algunos datos de este cálculo fueron revelados a Leibniz en las cartas de 1676. Keill contestó a Leibniz que las dos cartas de Newton, enviadas por medio de Oldenburg, habían dado:

... hermosas y claras indicaciones... de donde Leibniz derivó los principios de ese cálculo o al menos pudo haberlos derivado.

En la carta, Keill formalmente afirma que no está realizando una causa "criminal" contra Leibniz. Esta carta fue enviada también a Leibniz en mayo de 1711. Leibniz escribió entonces de nuevo en diciembre de 1711 declarando que la justificación de Keill no tenía fundamentos. A continuación, una vez más, reclamó el derecho sobre el descubrimiento del cálculo. Asimismo hizo un llamamiento a Newton para pedir que Keill diera marcha atrás.

Leibniz probablemente empeoró la situación en su respuesta. La Royal Society decidió nombrar un comité para estudiar la situación. Como se discutió antes, toda la investigación fue una farsa y manejada por Newton. Estaba totalmente decidido, sin que se le preguntara a Leibniz por su versión de los hechos.  En el informe, a Leibniz se le encuentra culpable de ocultar sus conocimientos sobre aportes previos y relevantes de otros matemáticos. Hall dice que: "si se demuestra estas ideas, sería difamarlo tan eficazmente como el peor crimen: que había ignorado primero, y más tarde negado explícitamente, el verdadero derecho de Newton como primer inventor”. El informe, junto con extractos de los documentos pertinentes se publicó en 1712 bajo el título Commercium Epistolicum. El trabajo se dispersó por toda Europa. Como se señaló anteriormente, un error evidente en el informe es la afirmación de Newton de que Leibniz tenía acceso en 1672 de la carta de Newton a Collins.

La Commercium Epistolicum Collinii et aliorum, un informe de 51 páginas, en el que estaba consignado el trabajo aparente de indagación realizado por el “Comité” con cartas públicas y privadas y otros documentos en posesión de Collins, mediante los cuales Keill y los miembros del “Comité” (y la mano de Newton que manejaba los hilos del informe) sustentaban su caso contra Leibniz declarándolo culpable de plagio. Extrañamente los miembros del “Comité" nunca firmaron públicamente el documento y, de hecho, durante más de 100 años no se pudo saber quiénes eran. Ahora sabemos que Edmund Halley, el astrónomo, estaba entre ellos, pero también sabemos que ni Halley ni ninguno de los otros 10 ilustres desconocidos escribieron una sola línea del informe porque éste fue redactado en su totalidad por el propio Newton.

 Johann Bernoulli apoyó firmemente Leibniz y añadió peso al argumento que demuestra el poder de su cálculo en la solución de ciertos problemas que Newton no había podido resolver con sus métodos. A pesar de que Bernoulli estaba correcto en su apoyo a los métodos de cálculo superiores de Leibniz, también apoyó la "Teoria del Vortice" de Descartes sobre la teoría de la gravitación de Newton y allí estaba ciertamente equivocado. Su apoyo de hecho retrasó la aceptación de la física de Newton en el continente.

Newton era en ese momento presidente de la Royal Society donde disfrutó de un gran respeto. La Royal Society, al tiempo que aceleró la publicación de los documentos en contra de Leibniz, era razonable que sería acusado de parcialidad o de precipitación: para ello se hizo cargo poco después de declarar que no tenía intención de emitir un juicio sobre la causa, pero dejaba a todo el mundo en libertad para discutir y dar su opinión.

Leibniz supo del contenido de la Commercium epistolicum  en 1713 por una carta de Nicolaus I Bernoulli[[xiii]]. Leibniz, en respuesta, distribuyó el Volans Charta, un boletín, en la que desaprueba la Commercium epistolicum y directamente acusa a Newton y sus discípulos de robarle las ideas del cálculo diferencial y luego cometer graves errores en las aplicaciones de la misma. Además expone  que un error de Newton en su comprensión de la segunda derivada y las superiores, descubierto por Johann Bernoulli, se utiliza como prueba en su contra.

La discusión la continuó Keill, quien publicó una repuesta a Charta volans. Leibniz rehusó seguir la discusión con Keill, diciendo que no podía responder a un idiota. Sin embargo, cuando Newton le escribió directamente, Leibniz contestó y dio una detallada descripción de su descubrimiento del cálculo diferencial. Desde 1715 hasta su muerte, Leibniz se carteó con Samuel Clarke, un partidario de Newton, sobre el tiempo, el espacio, el libre albedrío, la atracción gravitatoria en el vacío y otros temas.

La situación fue de mal en peor cuando Johann Bernoulli descubrió un error en trabajo de Newton. Escribió dos artículos que explican el error de Newton, y sugirió que se demostró que Newton no pudo haber inventado el cálculo independientemente de Leibniz ya que era incapaz de hacerlo. Keill escribió a Newton el 26 de abril 1714:

A esta carta el Inglés respondió que la notación no constituye el método: que los principios del cálculo de fluxiones se incluyeron en su gran obra y en sus cartas: que la norma que figura en el tratado sobre cuadraturas para encontrar las fluxiones de todas las órdenes es cierto, la supresión de los denominadores de los términos de la serie y dio por consecuencia cantidades proporcionales a las fluxiones.

En este punto de la historia, vemos que ha habido un estancamiento. Ninguna de las partes estaba dispuesta a conceder a cualquier otro el crédito por la invención del cálculo y había acusado a la otra esencialmente de plagio. La controversia no terminó aquí. Esta fase fue seguida por un aluvión de correspondencia entre las dos partes. Se continuó más allá de la muerte de Leibniz en 1716.

"La disputa ha terminado"

“La disputa ha terminado”, le escribió el abad Conti a Newton desde Hanover poco después de la muerte de Leibniz, ocurrida el 14 de noviembre de 1716, informándole del hecho en una breve nota. Pero Conti estaba equivocado por completo: la última carta de leibniz con respecto al asunto de la prioridad en la invención del cálculo había enfurecido a Newton y la noticia de su muerte, en lugar de detener los trabajos de los partidarios de Newton y del propio Newton por desacreditarlo, pareció instigarlos aún más. La tercera edición de los Principia, por ejemplo, en 1726, ya no contiene la referencia a Leibniz en el escolio sobre las fluxiones, fue borrada por el propio Newton debido a que en dicho escolio reconocía de manera explícita que Leibniz había llegado de manera independiente a la invención o al descubrimiento del Cálculo Infinitesimal. Newton murió el 31 de marzo de 1727 sin haber publicado su Método de las Fluxiones y Fluentes; irónicamente, el trabajo en el que basó su amarga disputa con Leibniz sólo fue publicado póstumamente, en 1736. Pero tampoco la muerte de Newton bajó el tono a las invectivas de sus discípulos contra Leibniz: la maquinaria continuó funcionando con inusitada fuerza durante un buen tiempo.

Conclusión

Los descubrimientos simultáneos no son un hecho poco habitual en la ciencia. Ocurrió varias veces en el pasado y podría pasar en el futuro también. Tan así como que en el siglo 20, la teoría de la explicación del Big Bang sobre el origen del universo fue propuesta simultáneamente por dos físicos, una en Rusia y otra en los EE.UU. En el Caso de Newton y Leibniz, como sabemos hoy, el cálculo fue descubierto simultáneamente por ambos. Las matemáticas  ofrecen la posibilidad de alcanzar resultados iguales por diferentes medios, y debido a su carácter lógico, prácticamente requiere de convergencia. Por lo tanto, en este campo era especialmente probable que se produjeran riñas y disputas. Además, la diferencia era también en cierta medida por el hecho que la publicación no era necesaria.

En este caso particular, lo que agravó la situación fue la renuencia de Newton a la publicación de sus tratados. Probablemente, de haber publicado sus tratados desde el principio, la controversia no se hubiera desarrollado. De hecho, se le instó en varias ocasiones por varios de sus amigos. No es muy difícil la búsqueda de respuestas en este comportamiento de Newton. Habia sido muy criticado cuando publicó su teoría de la luz y los colores. Debido a que no toleraba la critica se habia sometido a una gran cantidad de trabajo para responder a las críticas y dijo que él había sacrificado su paz. Probablemente, debido a esto, y También tal vez porque él quería que sus obras sean lo más perfectas posible, era muy reacio a publicar sus obras. Finalmente, Newton se vio obligado a publicar por dos factores. En primer lugar, por la prioridad en los reclamos realizados por sus compatriotas que buscaban establecer la superioridad de los ingleses sobre otros. En segundo lugar, por las sugerencias de los leibnizianos  de desconfiar de sus actividades intelectuales. Este último rasgo del carácter de Newton en el cual no pudo tolerar la idea de deuda con nadie probablemente explica en parte la venganza contra Leibniz.  Otra razón fundamental por la que se negó a publicar los trabajos era que Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. Este temor también está patente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométrico más riguroso -y obscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla para derivar productos.

En conclusión, la diferencia, a pesar de que pone a estos hombres en una situación muy particular con respecto a la manera en que se pelearon, era un resultado necesario de sus personalidades y las imperantes condiciones sociológicas de su tiempo. Sin embargo, esto no debe proyectar sombras en el resplandor de las matemáticas que estos hombres han desarrollado.

Leibniz vio el cálculo como el estudio de las curvas y las variables. Más aún, "la diferenciación y la integración son operaciones sobre las variables y cambiar el orden de lo infinito, no la dimensión de una variable". Leibniz también creía que" las diferencias son indeterminadas porque las secuencias de las variables o el polígono asociado se puede elegir de infinitas maneras. Leibniz no tuvo suerte en el sentido de que otros lo acusaron de plagio. Agravando el problema era la actitud algo arrogante de Leibniz y su enorme confianza en sus propias habilidades. Estas facetas del carácter de Leibniz de nuevo se manifiestan en la disputa con Newton.

Hay un par de puntos importantes a tener en cuenta sobre el estado de las matemáticas en el siglo XVII, la época de Newton y Leibniz. Primero de todo, algunas de las técnicas más elementales del cálculo se habían descubierto antes de que Newton y Leibniz llegaran a la escena. René Descartes, Pierre de Fermat y Blaise Pascal sabían cómo realizar las operaciones básicas del cálculo en casos especiales. Ellos fueron capaces de diferenciar polinomios y sabían dibujar tangentes a parábolas de todos los grados. Huygens y Barrow también había hecho avances sustanciales. Otro punto a recordar es que las contiendas científicas no se limitan a Newton y Leibniz. Efectivamente, Leibniz tuvo problemas con Hooke, y Hooke hizo graves acusaciones contra Oldenburg y Huygens. Parece que ha habido muchos conflictos matemáticos en la época de Newton y Leibniz. Lo interesante de ellos es que muchos, si no todos, eran entre ingleses frente a los europeos continentales.

Dado el análisis de sus personalidades anteriores, es posible llegar a algunas conclusiones acerca de por qué el conflicto Newton-Leibniz se desarrolló. Los dos hombres vieron el cálculo de formas radicalmente diferentes. Puede haber sido inconcebible para cualquiera de las partes que el otro lado realmente había llegado a una versión del cálculo. Tanto Newton y Leibniz parece haber compartido este punto de vista, aunque se podría argumentar que pudo haber sido más difícil para Newton, que no parecía situar la importancia de la notación que hizo Leibniz.

Parece que a pesar de que Leibniz era un matemático brillante, fue siempre por detrás en la carrera para resolver problemas específicos, ya sea en competencia con Gregory o con Newton. Esta pelea tiene la peculiaridad de que estalló tarde, y a la vez fue seguida en gran medida por los seguidores de los hombres involucrados. Hay razones para ello (las divergencias en su interpretación de " el cálculo "en sí mismo, por razones personales (una historia de desconfianza, no sólo entre los dos principios, sino entre cada uno de ellos y otros rivales; nacionalismo, nunca un factor sin importancia, y la amargura asociados con disputas sobre asuntos relacionados, en particular, la rivalidad entre las teorías newtonianas y cartesianas de la gravedad. A nivel personal, el orgullo de Newton, y la renuencia a publicar chocó con un ingenuo optimismo de Leibniz, la arrogancia, y su creencia en "sistemas" como más valiosos que la inspiración.

Tanto Newton como Leibniz consideraron el cálculo como un nuevo campo matemático independiente tanto de la geometría como del álgebra, en sus conceptos y métodos, y ofrecieron un fundamento algebraico a éstos. Como lo hemos analizado, los métodos infinitesimales antes de Newton y Leibniz, tenían una gigantesca influencia de la geometría. El énfasis puesto ahora en el álgebra era decisivo. De igual manera, tanto Newton como Leibniz redujeron los problemas del cálculo de áreas, segmentos, volúmenes, a procesos de antiderivación. O, puesto de forma general, todos los grandes problemas que dieron origen a la construcción del cálculo fueron resueltos por ambos matemáticos en términos de derivación o integración (antiderivación).

En Newton los infinitesimales estaban asociados directamente al cálculo de velocidades instantáneas (un claro sentido de aplicación física).

En Leibniz el interés no era la aplicación física. De hecho, se podría establecer una correlación entre infinitesimales y "mónadas'', estos últimos entes primarios en la descripción de lo real según la filosofía que aparece en su libro de filosofía (metafísica) Monadología.

El énfasis de Newton era la razón de cambio, mientras que en Leibniz lo era la suma infinita de infinitesimales.

Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibnitz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de Leibnitz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del Análisis no estándar de Abrahan Robinson.

Como hemos visto, fue también relevante la diferencia en el uso de la notación. Mientras que para Leibniz era muy importante, Newton no le prestó mucho cuidado. Tampoco Newton dio mucha atención a la formulación precisa de los algoritmos y reglas usuales del cálculo. En esto, nos repetimos, es probable que la vocación por una búsqueda de reglas generales universales, en Leibniz, fuera un factor para su desarrollo de la forma y la notación.

Producto de la polémica, los matemáticos británicos se negaron a usar la notación de Leibniz, que resultaba mejor que la de Newton y que es la que esencialmente usamos hoy en día. El asunto no se zanjaría sino hasta principios del siglo XIX cuando los británicos adoptaron la notación de Leibniz.

Fuentes:

Astroseti.org. <http://www.astroseti.org/>.

Bell, E. T. Los grandes matemáticos.

Bossut, Charles. A General History of Mathematics from the Earliest Times to the Middle of the Eighteenth Century.

Hall, Alfred Rupert. Philosphers at war. Cambridge University Press.

Matijasevic, Eugenio. «Leibniz y Newton: la inercia de la soberbia.» Acta Médica Colombiana(2010): 157-165.

Robertson, John J O'Connor and Edmund F. The MacTutor History of Mathematics archive. <http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html>.

Sastry, S.Subramanya. «The Newton-Leibniz controversy over the invention of the calculus.» <http://pages.cs.wisc.edu/>.

Westfall, Richard S. Isaac Newton: una vida. Cambridge.

<http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Secciones/Indice.htm>.

<http://euler.us.es/~libros/>