Aclaraciones de Física y Matemática III - Los Límites del Modelo

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Hartman
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Los Límites del Cálculo

Todo el post anterior parece apuntar a que, si domino el cálculo de derivadas, puedo reducir a series cualquier función y, entonces, integrarla.

Existe un tópico llamado “ecuaciones diferenciales” y que se refiere a encontrar funciones cuyas derivadas cumplan determinadas condiciones.

Ejemplo: Interés Compuesto

Dado un capital C, la variación de dicho capital en función del tiempo es la tasa de interés, en símbolos:

C=-i + dC

          dt

Donde i es el interés, C es Capital y t es tiempo.

Resolviendo la integral obtenemos la ecuación de los libros

Interés compuesto :

C0 ei(t-t0) = C

Donde usualmente t-t0 se reemplaza por “n”, cantidad de períodos.

Aquí queda en evidencia que el resultado de resolver una ecuación diferencial es una función, no un número.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales:

Ecuaciones de campo de la Teoría de la Relatividad

Ecuación de Schroedinger

Ley de la Gravedad

Teorema de las Fuerzas Vivas

Etc.

Así que muchas cosas que damos por sentadas de la Física moderna son, en realidad, consecuencia de la resolución de ecuaciones diferenciales.

 

¿Cómo se arma una ecuación diferencial?

Tengo una cierta “función de campo”, es decir, reconozco en la naturaleza (sea física o bancaria) una cierta regularidad y la represento por medio de una ecuación matemática. El siguiente paso es analizar cómo varía dicha ecuación y, en función de dicho análisis, “resolverla”, es decir obtener la “función primitiva” de dicha ecuación, la cual nos permite pronosticar qué sucederá. Por ejemplo, existen una serie de problemas que tienen como característica que la derivada segunda en el eje x es igual a la derivada segunda en el eje y. Esta condición, conocida como “condición de Laplace”, es la característica de los sistemas que tienen un “potencial”. Este “potencial” puede ser gravitatorio, eléctrico, químico, térmico, etc. el método es: analizo la función, la derivo dos veces según x, dos veces según y, la igualo y la integro dos veces, obteniendo una “función potencial” que me sirve para: diseñar transistores, antenas, torres de destilación, piezas de fundición, bombas atómicas, manijas de ollas, etc.

Hasta aquí, todo perfecto, hermoso y, según el positivismo “la ciencia no tiene límites, asegura el desarrollo continuo de la humanidad”.

 

¿Cómo se calcula la longitud de una curva?

Este ejemplo sí, traten de seguirlo paso a paso

En principio yo sólo sé cómo calcular la longitud de líneas rectas.

Dada una curva cualquiera, la aproximo por la recta tangente a ella en un punto, y mido la longitud de la recta.

La curva en negro es la función cuya longitud quiero hallar. La reemplazo por la recta azul y, para poder calcular su longitud aplico Pitágoras.

Largo de la recta azul = Raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos (en rojo)

Perdón, pero como no me deja transcribir, copio y pego de mi borrador en Word.

 

Su longitud será ¶ * r  donde r es el radio

Divido el radio negro a la mitad, y obtengo la curva roja. Es evidente que su longitud es 2 * ¶ * r/2

Si vuelvo a dividir a la mitad, obtengo la curva verde, cuya longitud es

4 * ¶ * r/4

Es evidente que, para todo número entero n

L = n * ¶ * r/n

Por lo que vimos cuando escribí sobre límite, antes de dividir por cero, o infinito, simplifico y me lo saco de encima, entonces puedo pasar al límite tranquilo ¿o no?

Si n es infinito, no tengo una sucesión de semicircunferencias, sino una sucesión de puntos y la suma de todos esos puntos alineados es el diámetro de la semicircunferencia, o sea 2r. Según este brillante ejemplo de paso al límite ¶ = 2.

¿Qué falló?

A ver, al hacer n infinito, pasamos al límite de… no, no pasamos al límite de nada

Pi es el resultado de la integral que puse más arriba

Así que estoy calculando el límite (para n infinito) del límite (la integral) del límite (la raíz cuadrada) del límite (la derivada), asumiendo la simplificación de calcular el límite (de la integral), del límite (de la raíz cuadrada), del límite (de la derivada), del límite de n tendiendo a infinito.

¿Pudieron seguir el galimatías?

Pues galimatías como esos están ocultos en montones de fórmulas matemáticas ¿quién es el valiente que me asegura que en una cuentita cualquiera no se esconde un Godzilla como este?

Porque la cuentita de la que salimos era nuestra vieja conocida, la longitud de la circunferencia ¿alguno sospechó semejante complejidad?

 

Otros límites ocultos

¿La Tierra es plana? Me responderán que no.

¿Cuál es la distancia más corta entre dos puntos? La recta, por supuesto

Pues bien, estas dos respuestas son contradictorias.

Estamos tan acostumbrados a resolver los problemas geométricos por los métodos de Euclides (los del colegio, bah) que nunca pensamos que fueron desarrollados “en el plano”, así que, en la práctica, actuamos como si la Tierra fuese plana. Lo cual funciona en distancias “pequeñas”, igualito que Godzilla, probamos con un n determinado y obtenemos un valor correcto, cuando n es “suficientemente grande” (ese es el significado físico de “infinito”) obtenemos una burrada.

Ejemplo: Si un avión sale de París y vuela 5.000 Km al Sur, tuerce al Oeste y vuela 5.000 Km, luego al Norte, otros 5.000 Km y, finalmente 5.000 Km al Este, nuestra experiencia usual dice que el avión aterriza en París. Pero el mapa dice que aterrizó aproximadamente en Budapest.

 

En el próximo post empezaremos a mezclar todo esto y entender por qué hay que tomar ciertas aseveraciones “científicas” con tanta precaución.

 

 



[1] Diferencial: variación que, en el límite, tiende a cero

 


Todavía no he empezado a pelear

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